Daniel Dombek - Non-standard representations of numbers

This thesis is devoted to the study of representations of numbers. In particular, we are interested in two major topics, firstly in positional representations of real numbers with negative real base and secondly in the possibility of representing algebraic integers in a given number field by means of algebraic units. In a particular case, we utilize a direct connection between these two representation problems.

In the first part, we study the so-called (-β)-expansions, introduced by Ito and Sadahiro as an analogue to the β-expansions by Rényi. We propose a generalization of (-β)-expansions and study its properties, with the emphasis on deciding the admissibility of digit strings. We study the structure of the set Z(-β) of (-β)-integers and provide the description both of distances between neighbors in Z(-β) and of the antimorphisms generating the encoding of Z(-β) by infinite words. Further, we demonstrate the exceptionality of confluent Parry numbers on the similarity of the sets of β- and (-β)-integers and their close relation to the spectrum of (-β).

In the second part of this work we start with generalizing the so-called unit sum number problem, the problem of determining whether all algebraic integers of given number field can be expressed as sums of units. In our generalizations, we replace sums of units with either sums of integers of bounded field norm or with linear combinations of units with rational coefficients. We characterize under which conditions are these representations possible. Finally, we recall the notion of DUG-fields, fields with the property that all algebraic integers can be expressed as sums of distinct units, and we use new methods to extend the list of totally complex quartic fields which are DUG.

Tato doktorská práce se věnuje studiu nestandardních reprezentací čísel. Konkrétně se zabýváme dvěma hlavními tématy, pozičním reprezentacím reálných čísel v obecné záporné bázi a dále reprezentacemi algebraických celých čísel v číselných tělesech pomocí algebraických jednotek. Ve speciálním případě využíváme přímou souvislost mezi těmito na první pohled zdánlivě nesouvisejícími reprezentačními problémy.

V první části práce studujeme tzv. (-β)-rozvoje, definované v práci Ita a Sadahira jako přímá analogie k Rényiho β-rozvojům. Zavádíme zobecnění (-β)-rozvojů a studujeme jeho vlastnosti, s důrazem na rozhodování o tzv. přípustnosti řetězců cifer. Studujeme strukturu množiny (-β)-celých čísel, značené Z(-β), a popisujeme jak množinu délek mezer mezi sousedními prvky v Z(-β), tak antimorfismy, jejichž pevné body množinu Z(-β) kódují. Dále ukazujeme výjimečnost třídy tzv. konfluentních Parryho čísel na podobnosti množin β-celých a (-β)-celých čísel a na jejich blízkém vztahu se zobecněnými spektry.

V druhé části se věnujeme zobecnění tzv. unit sum number problému, neboli rozhodnutí o tom, zda lze všechna algebraická celá čísla v daném číselném tělese vyjádřit jako sumy jednotek. Uvažujeme dvě možná zobecnění, ve kterých sumy jednotek nahrazujeme buď sumami algebraických celých čísel s omezenou normou nebo lineárními kombinacemi jednotek s racionálními koeficienty. U obou zobecnění charakterizujeme případy, ve kterých jsou zmíněné reprezentace celých čísel možné. Nakonec připomeneme definici tzv. DUG-těles, těles v nichž je možné každé algebraické celé číslo reprezentovat sumou vzájemně různých jednotek, a pomocí nových metod rozšíříme seznam totálně komplexních kvartických těles, které jsou DUG-tělesy.